### [Урок 1. Расчет вероятности случайных событий](https://gb.ru/lessons/447653/homework)

#### Задание 1

Из колоды в 52 карты извлекаются случайным образом 4 карты.

***Найти вероятность того, что все карты – крести:***

> $$ \frac {C^4_{13}} {C^4_{52}} = \frac {\frac {13!}{4!×(13-4)!}}{ \frac {52!}{4!× (52-4)!}} = \frac {13!×4!×48!}{ 4!×9!×52!} = \frac {715}{270725} ≈ 0.00264 $$

***Найти вероятность, что среди 4-х карт окажется хотя бы один туз:***

> 1. Общее количество способов извлечения 4 карт из 52:

$$ C^4_{52} = \frac {52!}{4!×(52-4)!} = \frac {52×51×50×49}{4×3×2×1} = 270725 $$

> 2. Количество способов извлечения 4 карт из оставшихся 48 карт (без тузов):

$$ C^4_{48} = \frac {48!}{4!×(48-4)!} = \frac {48×47×46×45}{4×3×2×1} = 194580 $$

> 3. Вероятность, что среди 4-х карт нет ни одного туза:

$$ \frac {C^4_{48}} {C^4_{52}} = \frac {194580} {270725} ≈ 0.718736 $$

> 4. Вероятность, что среди 4-х карт окажется хотя бы один туз

$$ 1 − 0.718736 ≈ 0.281264 $$

#### Задание 2

На входной двери подъезда установлен кодовый замок, содержащий десять кнопок с цифрами от 0 до 9. Код содержит три цифры, которые нужно нажать одновременно.

***Какова вероятность того, что человек, не знающий код, откроет дверь с первой попытки?***

> 1. Общее количество возможных комбинаций

$$ C^3_{10} = \frac {10!}{3!×(10-3)!} = \frac {10×9×8}{3×2×1} =  120 $$

> 2. Итоговая вероятность

$$ P(правильный код) =  \frac {1} {120} ≈ 0.00833 $$

#### Задание 3

В ящике имеется 15 деталей, из которых 9 окрашены. Рабочий случайным образом извлекает 3 детали.

***Какова вероятность того, что все извлеченные детали окрашены?***

> 1. Общее количество способов извлечения 3 деталей из 15:

$$ C^3_{15} = \frac {15!}{3!×(15-3)!} = \frac {13×14×15}{6} =  455 $$

> 2. Количество способов извлечения 3 деталей из 9 (окрашены):

$$ C^3_{9} = \frac {9!}{3!×(9-3)!} = \frac {9×8×7}{3×2×1} = 84 $$

> 3. Итоговая вероятность

$$ P(все 3 детали окрашены) = \frac {84}{455} ≈ 0.1846 $$

#### Задание 4

В лотерее 100 билетов. Из них 2 выигрышных.

***Какова вероятность того, что 2 приобретенных билета окажутся выигрышными?***

> 1. Общее количество способов выбрать 2 билета из 100

$$ C^2_{100} = \frac {100!}{2!×(100-2)!} = \frac {100×99}{2×1} = 4950 $$

> 2. Количество способов выбрать 2 выигрышных билета из 2

$$ C^2_{2} = \frac {2!}{2!×(2-2)!} = 1 $$

> 3. Количество способов выбрать 0 невыигрышных билетов из 98

​$$ C^0_{98} = \frac {98!}{0!×(98-0)!} = 1 $$

> 4. Вычисление вероятности
Теперь вероятность того, что оба приобретенных билета будут выигрышными, равна отношению количества благоприятных исходов к общему количеству исходов:

$$ 𝑃(оба билета выигрышные) = \frac {1×1}{4950} ≈ 0.000202 $$
